证明是什么意思啊（为什么我们需要证明？）

证明是一种逻辑论证，它可以毫无疑问地证明某件事是正确的。如何构建这样一个论点?为什么数学家对证明如此着迷?

哪条路?

在日常生活中，当我们不完全失去理性时，我们通常会使用两种形式的推理。其中一种叫做归纳推理，它涉及到从我们所看到的事物中得出一个普遍结论。例如，如果你见过的所有的羊都是白色的，你可能会得出所有的羊都是白色的结论。这种形式的推理非常有用——科学家以类似的方式根据观察得出他们的理论——但它不是无懈可击的。因为你无法确定你是否见过宇宙中的每一只羊，你也无法确定是否有一只黑色的羊藏在某个地方，所以你无法确定你的结论是否真的正确。如果你使用归纳推理，当新的证据出现时，你必须开放地修改你的结论，这是科学家通常做的。

另一种形式的推理，称为演绎推理，是相反的。你从一个你确信是正确的一般陈述开始，然后得出一个具体案例的结论。例如，如果你知道所有的羊都喜欢吃草，而且你也知道站在你面前的动物是羊，那么你就可以确定它喜欢草。这种推理是无懈可击的。只有当你的前提是错误的，也就是你认为所有的羊都喜欢草是错误的，或者你的观察是错误的，也就是说，你看到的动物实际上不是羊。但如果这两件事是正确的，那么你的结论必然来自你的前提:它在任何地方都是真的，并且永远是真的。

都是关于公理的

数学就是要证明某些陈述，比如勾股定理，在任何地方都是正确的，而且是永恒的。这就是为什么数学是基于演绎推理的。数学证明是一种论证，它从其他你确信是正确的命题中推导出一个命题。例如，如果已知一个三角形中的两个角，你可以根据在一个平面上画的所有三角形的内角之和总是180°来推算第三个角的值。

自古希腊以来，演绎推理在数学中的重要性就已为人所知。亚历山大的欧几里得被称为几何学之父，他提出了一系列公理和陈述，他认为这些公理和陈述显然是正确的，不需要进一步的论证。其中包括三角形内角和为180度的命题。任何其他关于几何的表述，例如勾股定理（西方称作毕达哥拉斯定理），都应该通过演绎推理从这些公理中推导出来。欧几里得著名的数学著作《几何原理》就是基于这种方法。它是历史上最成功的书籍之一，有人说它的版本比圣经还多。

但当然，你仍然需要非常小心演绎推理，因为很容易出错。为了确保你的结论是正确的，你需要确定你的一般假设是正确的，并且你正确地使用了它们。例如，下面的证明只使用了如何处理等式的基本假设，但它的结论是1=2。你能发现缺陷吗?

我们需要证据吗?

为什么数学家坚持要证明一切?在日常生活中，我们并不那么迂腐。如果一桩谋杀案的所有证据都指向一个特定的嫌疑人，我们会很高兴地给他们定罪，并说他们的罪行“毫无疑义”地被证明了。但是，我们永远无法真正确定。任何一个无辜的罪犯都会告诉你，总有可能不是他们干的。

数学也许是唯一一个可能具有绝对确定性的领域，这也是数学家们如此重视证明的原因。此外，如果我们不坚持证据，错误就会悄然而至，否则很难发现。上面提到的三角形就是一个著名的例子。欧几里得的一个定理相当于说所有三角形的内角和是180度——他认为这很明显，我们应该接受它。然而，他之后的数学家们认为他们可以做得更好。他们试图从欧几里得的其他公理中推导出这一事实。

但数学家没能证明三角形的内角和总是180度。原因是它并不总是正确的。它只适用于在平面上画三角形。如果你把它画在一个球面上，比如说一个橙色，内角之和大于180度。在试图证明180度结果时，数学家偶然发现了另一个非常奇怪的曲面，称为双曲平面，在这个平面上三角形的内角之和小于180度

双曲平面是很难想象的，但它类似于羽衣甘蓝叶子，随着你向边缘移动，它变得越来越皱。虽然我们在日常生活中不会遇到那个奇怪的表面，但它是非常重要的。爱因斯坦的狭义相对论是用双曲几何来表述的。狭义相对论产生了广义相对论，没有广义相对论，现代卫星导航设备和GPS功能手机就无法工作。

数学的限制

数学真的能实现它提出的每一个命题都能被毫无疑问地证明是对是错的这一崇高主张吗?不幸的是不完全。在二十世纪初，人们不得不把所有的数学，而不是像平面几何这样的子领域，放在一个严格的基础上，确保每一个正确的命题都可以从一些基本的公理推导出来。这不是一件容易的事。伯特兰•罗素(Bertrand Russell)和阿尔弗雷德•诺斯•怀特黑德(Alfred North Whitehead)的一次著名尝试让数学变得相当困难:基于他们选择的公理，1+1 = 2的证明长达几百页。他们的系统也有缺陷。他们不能证明它不包含任何矛盾。

几年后，一位名叫库尔特Gödel的年轻奥地利数学家给了他们的梦想致命的一击。假设你选择了一组你认为应该作为数学基础的公理。如果这组公理不允许你定义和得出关于自然数和它们的算术的结论，那它就没有意义了，所以让我们假设你的公理集足够强大，可以做到这一点。我们还假设，当你从你的公理建立所有的数学，证明一个又一个的陈述时，你不会遇到任何矛盾:你可以用你的公理建立的系统是没有矛盾的。Gödel所证明的是，在最终的系统中，总是会有一些数学命题，你不能用你的公理来证明它是对的还是错的:总是会有一些不可判定的命题。

他的结论相当令人震惊:这意味着无论你选择哪一套公理，你可以从中建立的数学永远是不完整的。这就是为什么Gödel的结果被称为不完备定理。数学家有无法用公认的数学公理证明的具体例子。当你遇到这样一个无法决定的陈述时，你基本上必须自己决定你是否相信它是真的。

然而不幸的是，Gödel的结果并不能成为你以不相信为理由而撕毁你的税单的借口。人们每天使用的数学，无论是计算税收还是建造飞机，都是无可争议的。数学家到目前为止发现的不可判定命题并没有进入这些领域。如果有一天，无法确定的命题确实干扰了我们的技术和计算，那么数学家将不得不回到科学家的方法，并将他们的观点建立在他们对周围发生的事情的观察之上。